Десятичная дробь 0,(9) (или 0,9999…) представляет собой дробную запись числа 1. Т.е. 0,(9)=1, и знак равенства здесь не приблизительный, а буквальный. До сих пор некоторые утверждают, будто бы число 0,(9) только стремится к 1, однако их точка зрения не верна. Равенство 0,(9) и 1 вполне обосновано математически. Существует множество доказательств этого равенства:
1. 1/3=0,(3);
3*0,(3)=1. 3*0,(3)=0,(9).
Следовательно, 0,(9)=1.
2. 1/9=0,(1);
1=9*0,(1);
Следовательно, 1=0,(9).
3. Допустим, x=0,(9).
Тогда 10x=9,(9).
10x-x=9,(9)-0,(9);
9x=9;
x=1.
Следовательно, 0,(9)=1.
4. Доказательство от противного.
Допустим, 0,(9)≠1.
Тогда имеется некое число, которое находится между 0,(9) и 1. Попробуем найти это число. Очевидно, что его целая часть будет равна 0 (иначе оно будет больше 0,(9)).
Цифры 9 в дробной части мы не можем заменить на бо́льшие цифры.
Получается, что числа, находящегося между 0,(9) и 1, не существует, следовательно, 0,(9)=1.
