Май 242013
 

Ещё с глубокой древности великие умы пытаются сделать логику непротиворечивой и поставить точку в её изучении. Ещё в XVIII веке Иммануил Кант считал, что изучение логики уже близко к стадии завершения. Однако до сих пор в логике остается множество парадоксов.

 

 

«Это предложение содержит шесть слов»
Сколько слов в этом предложении? Правильно, пять. Значит, это утверждение ложно. Следовательно, противоположное утверждение должно быть истинно. Верно?

«Это предложение не содержит шесть слов»
Неверно! Противоположное утверждение содержит ровно шесть слов.


Греческие философы любили рассказывать притчу о крокодиле, выхватившем младенца из рук матери:

Крокодил: Съем ли я твоего младенца? Если ты ответишь правильно, я верну тебе его целым и невредимым.
Мать: О горе мне! Ты съешь моего мальчика.
Крокодил: (в смущении): Как мне поступить? Если я отдам тебе младенца, то твой ответ будет неверным. Следовательно, я должен съесть малютку. Отличная идея! Я не отдам тебе его!
Мать: Но ты должен вернуть мне его. Ведь если ты съешь моего мальчика, значит, я ответила правильно и ты должен отдать мне его.
Несчастный крокодил настолько растерялся, что упустил мальчишку. Мать подхватила ненаглядное чадо и была такова.
Крокодил: Жаль! Вот если бы она сказала, что я отдам ей ребенка, то у меня было бы чем полакомиться на обед.

Крокодил оказался перед неразрешимой проблемой: он должен съесть младенца и в то же время вернуть его матери.

Мать оказалась очень умной женщиной. Ведь если бы она сказала, что крокодил собирается вернуть ей младенца, то крокодил мог бы действительно вернуть его или съесть, не впадая при этом в противоречие. Если бы крокодил вернул младенца матери, то ее утверждение стало бы истинным и крокодил сдержал бы свое слово. С другой стороны, если крокодил достаточно коварен, то он мог бы съесть младенца. Тогда утверждение матери стало бы ложным, и крокодил мог бы считать себя свободным от данного им обещания вернуть матери младенца.


В романе Сервантеса «Дон Кихот» рассказывается об одном острове, на котором действует удивительный закон. Каждому, кто проходит по мосту через реку, судьи задают вопрос: «Куда и зачем ты идешь?» Тех, кто скажет правду, судьи пропускают, а тех, кто солжет, без всякого снисхождения отправляют на стоящую тут же виселицу и казнят.

Однажды некий человек заявил под присягой, что идет затем, чтобы его вздернули на виселице. Судьи пришли в не меньшее замешательство, чем крокодил. Если они не повесят этого человека, то это будет означать, что он солгал, и его надлежит повесить. Если же они повесят его, то он не солгал и его необходимо пропустить.

Суть парадокса Дон Кихота, обладающего несомненным сходством с парадоксом крокодила и младенца, несколько затемняет неоднозначность утверждения, высказанного тем человеком, который перешел мост. О чем идет речь: о намерении или о будущем событии? Если речь идет о намерении быть повешенным, то человек мог сказать правду (то есть действительно мог хотеть, чтобы его повесили). В этом случае судьи не могли бы отправить его на виселицу, и никакого противоречия при этом бы не возникало. Если высказанное утверждение понимать во втором смысле, то любое решение судей противоречит закону.


Единственному деревенскому брадобрею приказали в деревне «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется». Кто побреет брадобрея?

Если брадобрей бреется сам, то он принадлежит множеству тех жителей города, кто бреется сам, Но в объявлении утверждается, что наш брадобрей никогда не бреет тех, кто входит в это множество. Следовательно, наш брадобрей не может брить самого себя.

Если же брадобрея бреет кто-нибудь другой, то он принадлежит к числу тех, кто не бреется сам. Но в объявлении сказано, что он бреет всех, кто не бреется сам. Следовательно, никто другой не может брить нашего брадобрея. Похоже, что его не может брить никто!

Бертран Рассел предложил парадокс брадобрея, чтобы облечь в более наглядную форму знаменитый парадокс, обнаруженный им в теории множеств. Некие математические конструкции приводят к множествам, которые включают себя в качестве одного из своих членов. Например, множество, содержащее все, что не является яблоком, само не является яблоком и, следовательно, должно содержать себя в качестве одного из членов. Рассмотрим теперь множество всех множеств, не содержащих себя в качестве одного из членов. Содержит ли оно себя? Как бы вы ни ответили на этот вопрос, вам не удастся избежать противоречия.

С этим парадоксом связан один из наиболее драматических моментов в истории логики. Знаменитый немецкий логик Готлоб Фреге завершил второй том своих «Оснований арифметики», над которым работал всю жизнь. В этом фундаментальном труде Фреге изложил непротиворечивую теорию множеств, которая могла бы послужить основанием для всей математики. Рукопись находилась уже в типографии, когда Фреге получил от Рассела письмо (дело происходило в 1902 г.), в котором Рассел сообщал об открытом им парадоксе. Теория множеств, развитая Фреге, допускала образование множества всех множеств, которые не содержат себя. Но, как явствовало из письма Рассела, это, казалось бы, не таившее никаких опасностей множество было внутренне противоречивым. Фреге не оставалось ничего другого, как дописать к своему труду краткое приложение, которое начиналось словами: «Вряд ли что-нибудь может быть более нежелательным для ученого, чем обнаружить, что основания едва завершенной работы рухнули. Письмо, полученное мной от Бертрана Рассела, поставило меня именно в такое положение…«.

Больше о логических парадоксах можно прочитать в книге Мартина Гарднера «А ну-ка, догадайся!».

VN:F [1.9.20_1166]
Rating: 5.0/5 (8 votes cast)
Логические парадоксы, 5.0 out of 5 based on 8 ratings
Показать комментарии